你的世界是几维的？

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​​​一

两周前我在加州太浩湖畔的山里滑雪。虽然已经是四月下旬了，山顶的雪还是很厚实。缆车高悬在山谷中间前进，四面都是寂静的雪山峰顶，天空湛蓝透亮，一片白皑皑的雄壮山岭背后是太浩湖的波光。让人很容易忘记世界上其他角落正在发生的事。

「法国选举的结果出来了么？」安静的缆车车厢里忽然有人问。

「刚出来。」另一个人掏出手机看了看说道。「马克龙和勒庞进了下一轮。」

「头几名的得票数都差不多。」第三个人的消息显然更详尽。「勒庞差一点就是第一。」

缆车里除了我以外的几个人都是白人中年男子，彼此看起来也并不熟悉。大家有一搭没一搭地聊着，说到勒庞的排外政策，川普的名字好像就在大家的嘴边打转，但并没人真的提到他。每个人都不知道其余的人是什么政治立场，谈及刚刚过去的美国大选显然不是件安全的事。紧凑的车厢里空气莫名变得有点紧绷起来。

「唉，雪场上别谈政治了。」一个人忽然说。大家哄然大笑，气氛又缓和了下来。

这是大选前后的美国社会里日常但又微妙的一幕。理论上说，美国人每四年都要经历一次社会的撕裂和弥合，对此早已轻车熟路。但这种撕裂的严重程度却正在随着时代发展急剧恶化。一项长期社会调查追踪了美国人能否接受自己的配偶和自己政治立场不同，上世纪六十年代时只有 5% 的人表示介意，2008年这个比例上升到了 25% 左右，2010年开始接近一半，到了2016年，你已经很难找到一个希拉里的支持者和一个川普的支持者不彼此鄙夷，更不用说还心平气和地坐在一起谈论政治了。

社会割裂的方向有时候是匪夷所思的。就在我滑雪的那个周末，全美国几乎所有大城市都组织起了捍卫科学的 March for Science，锋芒直指川普政府。回到上世纪六十年代，很难想象科学竟然能成为判断意识形态的一个指标。如果请当时的民众猜测哪个党的候选人会旗帜鲜明地支持科学，恐怕所有人都会一头雾水。但在今天，科学早已是泾渭分明的政治议题。就在游行前一天，马克龙在法国选战的紧要关头还贴出了英文声明来声援科学界：

「对每个参与 March for Science 的人，我想对你们说：法国永远是科学和学术的故乡。面对与日俱增的不信任，科学必须承担起自己的社会责任，而法国也必须诚实地面对自己。我向你们保证，我将捍卫知识，进步，以及启蒙的价值。」

而勒庞对这场活动不置一词，正如大家能预料到的那样。

马克龙（左），勒庞（右），两位截然不同的候选人。（图片来源：india express）

二

2002年，勒庞的父亲，国民阵线上一代领导人老勒庞出人意料地在法国总统大选首轮选举中位居第二，对决时任总统希拉克。

然后他迎来了毫无悬念的惨败。在当时的法国政坛上，老勒庞居于极右翼，希拉克处于中右，左翼由时任总理若斯潘领导。这种线性的排列反映了传统民主政治意识形态光谱的格局。在这种局面下，不慎在初选中落马的若斯潘当即宣布支持希拉克，整个政治谱系从中右到最左都归于希拉克麾下，孤立了极右的勒庞，年轻人在街上打出了「宁可要骗子也不要法西斯」的口号（希拉克常常被左翼称为骗子）。最终，希拉克在第二轮里以 82% 的选票赢得了史无前例的压倒性胜利。

乍看起来，2017年仿佛历史即将重演。中间派的马克龙和极右派的勒庞进入了第二轮选举，传统的右派政党领导人菲永和左派政党领导人阿蒙立刻表示支持马克龙，勒庞又像她的父亲一样被孤立在极右一隅。但和2002年相比，2017年有一个醒目的区别：极左翼的梅朗雄宣布中立，而他在初选中获得的20%的选票成了勒庞争取的重点。

政治光谱不再是一条直线，而是弯成了一个首尾相接的环。极右翼和极左翼试图合流了。

类似的趋势也发生在美国。川普能在大选中获胜，端赖中部州里白人蓝领工人阶级出人意料地倒戈。这部分选票本来不但是民主党的铁票，而且在民主党初选中倾向于支持比希拉里更左的桑德斯，却又在大选中投向了位于希拉里右边的川普。

大选结束之后桑德斯愤怒地咆哮：「失去工人阶级的选票，简直是民主党的耻辱！」但这只不过反应了在政治颠覆的年代里还在套用一维线性的意识形态光谱所带来的尴尬。政坛虽然仍然被习惯性地描述为左翼和右翼，但两党内部早已分崩离析，只维持着名义上的团结。工人阶级固然不愿意无条件支持希拉里，支持希拉里的那些硅谷的民主党新贵、城市职业精英和年轻技术移民们也会觉得，自己和密歇根州一个高中学历的白人下岗工人之间，也确实几乎没有任何共同点啊。

众所周知，左翼和右翼的概念源自1789年法国大革命后国民工会里议员座位的排列方式。这种偶然形成的一维结构具有惊人强大的生命力，几经革命还是一直坚持到了二十一世纪之初。法国虽然小党林立，历次大选最终总还是忠实地归队于左右对决。但这个结构看起来已经无法用来准确刻画今天的世界了。要描述一个典型选民的政治立场，需要用比左右更多的方向才行。

所以这个世界是几维的呢？

三

大约一百年前，德国数学家豪斯朵夫问了一个看似奇特的问题：如何判断一个空间的维度。

在传统的数学体系里这问题没有意义，维度是在定义空间之初就预设好的。点是零维，线是一维，面是二维，诸如此类。

正方形（左），立方体（中），四维超立方体（右）。（图片来源：wikipedia）

但豪斯朵夫的问题是，如果不是一个传统的连续空间，如果根本就是一个离散但密集的个体的集合，如果它的结构复杂混乱，不能简单刻画为一条线或一个面，我们该怎么定义它的维度呢？

他提出了一个极具洞见，既新颖又深刻的思路。在传统的几何学里，空间的大小是维度的的指数函数。一维空间如果尺度倍增，空间也会扩大两倍，二维空间尺度倍增之后会扩大四倍，三维空间会扩大八倍。依次类推。豪斯朵夫说：既然如此，就把维度反过来定义为空间尺度变化的对数好了。如果一个空间的尺度倍增之后扩大了 2 的 n 次方，就可以说这个空间是 n 维的。

这个想法的威力在于，它完全不需要这个空间有任何规整的几何结构，可以定义在任何曲折混沌的对象上。而维度甚至也不需要是固定的整数。在上面那个定义里，n 是被计算出来的，而计算的结果可能是任何非负实数，一个空间完全可以是 1.58 维的。也没有理由它一定在空间内部处处相等，维度是个局部的概念，不是全局的。

就这样，豪斯朵夫大大解放了人们对于维度的理解。他的洞察源于这样一个简单但又极少被重视的事实：古典的几何对象只能够刻画简单完美的形状，而现实世界要模糊晦涩得多。非整数维度并不是数学的臆想，恰恰相反，不完美的维度是大自然的本质，反倒是纯粹的点线面体才是数学家高度抽象的理想概念。正如半个世纪后将豪斯朵夫的观念发扬光大的分形几何创始人孟德布洛特所说的那样：

「云朵不是球形，山峰不是锥体，海岸不圆滑，树皮不平整，闪电也并不是一条直线。」

显而易见，这种超越规整结构，试图探究纷乱离散的空间的观念在根本上就属于现代。豪斯朵夫的论文发表于一战结束不久的1919年，整个欧洲都在面对古典体系的崩塌和浩劫中支离破碎的社会。就在差不多同一个时期，斯特拉文斯基的春之祭在巴黎首演，粗暴的和弦和不规则的调性彻底告别了浪漫主义时期的古典音乐；毕加索正处在立体主义绘画创作的高峰期，竭力拆解几乎所有绘画对象的静态视角；德布罗意正在写博士论文，指出，任何物质都既是粒子也是波，量子力学的不确定性原理呼之欲出；维特根斯坦出版了名著《逻辑哲学论》，宣布：一切形而上学的陈述都是没有意义的。

虽然人们普遍相信数学是普适的，但数学观念的产生并不能脱离现实社会。豪斯朵夫的想法不会诞生在更早一二百年前的欧拉或者高斯的脑海里。如果外星人有和我们一样发达的数学，了解一下它们的社会发展到什么状态之后才出现了类似的概念，会是一件有趣的事。

四

如果要用同样的方式来理解社会，我们可以这样来粗略地定义维度：假定人和人的意识形态相似程度可以被度量出来，只要统计出一个人周围和他相似程度在一个特定距离以内的人数，把这个距离放大一倍之后的人数之比是 2 的几次方，在这个人的视角来看的社会就是几维的。

比方说：

一个理想中的所有人都紧密团结在一个核心周围的社会，扩大尺度并不会增加人数，所以这个社会是零维的。这是合情合理的事，一个万众一心的社会等同于它的核心，而单点当然是零维的。

一个简单的民主社会模型里，所有人排成从左到右的政治光谱，如果这个分布是均匀的，把尺度扩大两倍就刚好能包括两倍的人数，所以这个社会是一维的。如果他们的分布在这条直线上并不均匀而是更集中在中间派周围，其维度就还要更小一些，介于 0 和 1 之间。

一个更现实一点的模型是人们并不排成一条纯粹的直线，同时还表现出其余方向上的差异性。他们的分布更像是一个橄榄球的形状。在《政治学期刊》（The Journal of Politics）上最近刊发的一篇论文里，作者所描述的中国社会的意识形态光谱分布大致就是这个模型，其维度大致介于 1 和 2 之间。

但真实的世界恐怕远比这些模型都复杂得多，今日尤其如此。社会早已不再围绕着一个统一的中间派作为核心，而是分裂成若干各自为政的气泡，画地为牢，渐行渐远。在社交媒体的作用下，由于议题的变幻，这些气泡之间可以表现出复杂的合纵连横，但彼此已经不再有情绪的共振和精神的团结，昨日的联盟会是明日的仇寇。不同的人在不同的视野中观察出的世界面貌可以全然不同，无法再用一个单一的维度和形状来描述它了，云朵和闪电也许才是更合适的比喻。

在古典观念熏陶下长大的一代人，往往会在这幅新的世界图景面前手足无措，甚至会对周遭的变化表现出惊人的麻木不仁。1989年12月23日和12月25日，柏林墙刚刚崩溃之后，伯恩斯坦受邀在西柏林和东柏林分别指挥演奏了贝多芬的第九交响曲，成为不朽的经典。欧洲的统一近在咫尺。《欢乐颂》在1985年被定为欧共体的会歌，进而在1993年成为欧盟的国歌。显而易见，历史已经终结，天下即将大同，《欢乐颂》的歌词即将成为现实。只有最悲观的人才会愿意预期，仅仅一弹指间，欧盟就将命悬一线，而纳粹将会卷土重来。

躲在一个气泡里的个体可以假定岁月静好，一切宛如昨日幻乐，但这往往是悲剧的起源。他看到的只是一个复杂屈折的世界在更低维度上的投影，一个对狂飙突进的历史湍流的简笔画般的描摹，一个更容易被媒体所采纳和记忆的粗糙叙事，一座层移倒悬重重折射下的海市蜃楼。而真实——如果真实仍然有意义的话——则掉落在幽暗深邃的维度的缝隙里。在那里，一幅粗粝斑驳扭曲异质的图景，会让一个在不经意的一瞥之间扭过头去的观察者惊骇和战栗不已。

2017年5月7日，法国总统大选第二轮投票中，马克龙以二比一的选票比例赢了选举，他发誓要重建一个新法国，让极端主义不再有容身之地。《欢乐颂》在胜选集会上再次被奏响，这首诞生于两百年前的，代表古典浪漫主义最高成就的音乐作品，在今天仍然象征着人类对一个统一、和谐、进步、自由、平等、包容的世界的憧憬。

你更愿意相信，这是新时代的序曲，还是一阙旧日梦想的挽歌呢？

蒼之濤

我的世界是一维的

何乐而不为

我的世界是二维的

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科学家的想法果然是开放的，说不定验证了我们就能飞向宇宙了

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每日一顶！

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